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　　“容斥原理”是一种常考的题型，出现频率高，题目难度中等，很多考生都觉得无从下手。容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。一般情况下，涉及求解多集合元素个数的题目都需要用到容斥原理。容斥原理问题的求解方法有公式法和文氏图法。

　　一、公式法

　　

 

　　二、文氏图(集合关系图)法

　　

 

　　【例1】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。

　　A.22 B.18 C.28 D.26

　　【解析】A. 因为共32名学生，两次都没及格的有4人，所以第一次或第二次及格的有32—4=28人。因此丨A丨=26;丨B丨=24;丨A∪B丨=28，代入容斥原理核心公式：丨A∪B丨=丨A丨+丨B丨-丨A∩B丨，解得丨A∩B丨=22，选择A。

　　【例2】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有( )。

　　A.1人 B.2人 C.3人 D.5人

　　【解析】D. 本题为典型的“三集合容斥原理题”，只需要将图画好，再根据原题把条件代进图中，分析清楚各部分之间的关系就能很容易得到答案了。

　　

 

　　只能教法语人数=27-(8+2+3+2+6+1)=5(人)。

　　【例3】某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：

　　A. 7人 B. 8人

　　C. 5人 D. 6人

　　【解析】A. 根据容斥原理公式，42=22+16+25-8-6-x+0，得到x=7，因此答案选择A选项。

　　保定华图(http://baoding.huatu.com/) 建议考生，虽然考试中关于容斥原理题千变万化，但无论怎样变化都离不开基本公式和文氏图，在平时练习的时候一定要熟练掌握这两种方法，从而提高做题速度与正确率，并争取针对个性化的题产生巧妙的方法。

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